Algebra lineare Esempi

$12 x + 5 y + 6 = 0$ , $\frac{5 x}{3} - \frac{7 y}{6} = - 12$

Passaggio 1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 x + 5 y = - 6, \frac{5 x}{3} - \frac{7 y}{6} = - 12$

Passaggio 2

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 12 & 5 & - 6 \\ \frac{5}{3} & - \frac{7}{6} & - 12 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12}{12} & \frac{5}{12} & \frac{- 6}{12} \\ \frac{5}{3} & - \frac{7}{6} & - 12 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{12} & - \frac{1}{2} \\ \frac{5}{3} & - \frac{7}{6} & - 12 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{5}{3} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{5}{3} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{12} & - \frac{1}{2} \\ \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & - \frac{7}{6} - \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{12} & - 12 - \frac{5}{3} (- \frac{1}{2}) \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{12} & - \frac{1}{2} \\ 0 & - \frac{67}{36} & - \frac{67}{6} \end{array}]$

Passaggio 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{36}{67}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{36}{67}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{12} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{36}{67} \cdot 0 & - \frac{36}{67} (- \frac{67}{36}) & - \frac{36}{67} (- \frac{67}{6}) \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{12} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 6 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{12} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{12} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{12} \cdot 0 & \frac{5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{5}{12} \cdot 6 \\ 0 & 1 & 6 \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 6 \end{array}]$

Passaggio 4

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = - 3$

$y = 6$

Passaggio 5

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- 3, 6)$

Passaggio 6

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \end{array}]$